把不均匀硬币变成均匀的六面骰子

2017-11-07

第一个问题是怎么把一种不均匀的硬币变成一种均匀的硬币；第二个问题是，怎么把一个不均匀硬币变成一个均匀的硬币；最后是标题里的问题，把不均匀的硬币变成（等效成）均匀的六面骰子。

问题一

如何把一种不均匀的硬币变成均匀的硬币？

　啊哈，把两个硬币按头对尾的顺序粘在一起就可以实现了。

如何把一个不均匀的硬币变成一个均匀的硬币？

　这是个MS问我的问题，来自算法课。实际上我没想出来，但是知道答案后我又恍然大悟。

　最开始我总想在期望值上下功夫。比如正面概率0.8，反面0.2，那么我们先抛10次硬币，给正面朝上的频次乘以0.625，反面朝上的频次乘以2.5，然后我们就可以近似得到两者的频次相等啦。仔细想想这种方法好像只是乱来。

　接着又有第二个提案，我们抛100次硬币，前50次是照常，后50次把正反颠倒。这样出来的结果貌似正反的期望一样了。但还是麻烦，我们该如何定义概率为50%的事件呢。把情况从100次压缩到2次？

　可以想想，其实也不算难（尤其是在知道答案之后……）。

　↓答案在下方

　／

　我本来觉得我可以写一篇别人没写过的文章，但是发现自己太Naive，随便一搜就有很多这个话题的文章。GoCalf这位朋友在他的博文中有比较详细的介绍了：

　不想点链接的话可以看 我的版本 ：

　把硬币抛两次，可能出现的情况有：{正正}，{正反}，{反正}，{反反}。中间那两种情况是等概率的，均为p(1-p)。所以我们只需要定义：

　那么A、B事件就是等概率的了，也就是我们的「新」硬币从此诞生。

　这种方法从理论上解决了这一问题，不过缺点是在现实中并不好用。因为抛两次硬币，如果结果为{正正}或者{反反}，那么是要扔掉这次实验结果再来一遍的。如果正面概率达到了0.9，那么{正正}的概率为0.81，我们将会有8成时间在做无用功。

　总而言之这个问题解决了。

　为了和其他文章不一样，我们需要「为赋新词强说愁」，所以我编了下面这个问题：

如何把一个不均匀的硬币变成一个均匀的六面骰子？

　有了前面的铺垫，这个问题不就迎刃而解了……吗。

　「均匀的六面骰子」意思就是会有六种结果，每种的概率是1/6。

　我的想法是这样的，抛四次硬币，把出现两次正面两次反面的结果（一共六个）定义为事件1-6，就搞定了。如下表格所示。

　事实上，数字1的个数相同的答案都可以组成一组新的事件，这样我们还可以实现其他概率的事件，比如取「1」的个数为1或者3的那些组合出来，可以实现1/4概率的事件（正四面体骰子？）。

　举一反三，如果我们抛3次硬币，还可以定义新的概率为1/3的等概率事件。抛5次硬币可以有更多的组合，如概率为1/10的等概率事件。

　如果各位朋友有什么新的解决方案欢迎提供。

　最近的Post好像篇幅都比较短。

LanternD

标签：概率硬币骰子